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第2章 拓扑优化设计方法的分析

在装载机工作装置的设计中，对动臂通常采用传统的经验类比试凑法。目前对工作装置在满足诸多性能要求下进行几何优化时，只能求出动臂与其他构件联结点的铰接点位置，而对动臂形状的确定仍然没有理论和实践上的突破，为此必须进行动臂结构尺寸的拓扑优化设计[11]。通过拓扑优化技术对连续体进行计算和优化可以得到具备更理想力学更加合理的轻质结构。装载机合理的动臂形状可使结构轻、应力均匀、材料利用率高。

拓扑学（topology）是近代发展起来的一个数学分支，用来研究各种“空间”在连续性的变化下不变的性质[12]。在20世纪，拓扑学发展成为数学中一个非常重要的领域。

2.1拓扑学的简介

在数学上，关于哥尼斯堡七桥问题、多面体的欧拉定理、四色问题等都是拓扑学发展史的重要问题，如图 2-1。拓扑学与结构优化的问题相结合，也并非偶然。“ 拓扑”（topology）。在物理学、化学乃至生物学中也屡屡发现它的足迹，基本粒子理论中有所谓拓扑解、非拓扑解.拓扑学告诉我们怎样找一些数量来区别开在拓扑上不一样的图形, 并且把它们加以分类[13]。不同于传统的欧氏几何，拓扑学与研究对象的长短、大小、面积、体积等度量性质没有关系，它研究的是几何元素的数目和它们之间的连接关系，也就是图形的整体结构。我们可以随意地将图形进行变形，如拉伸、压缩或者弯曲等，甚至可以改变维数，但是只要图形的整体结构不改变，在拓扑学上他们都是等价的，称为同胚[14]。拓扑学的基础就是集合的概念，它的同调群等都涉及了微观领域。所以拓扑学与结构优化的结合，也可以说是建立了微观领域与宏观领域的联系。计算机和有限元的发展又使它们的结合如虎添翼。从此，与更多的涉及微观领域的理论建立了联系，例如：遗传学，蚂蚁算法等等。

2.2结构拓扑优化的分类

目前常使用的拓扑优化设计方法可以分为退化法和进化法两大类。

退化原理的基本思想是在优化前将结构所有可能杆单元或所有材料都加上，然后构造适当的优化模型，通过一定的优化方法逐步删减那些不必要的结构元素，直至最终得到一个最优化的拓扑结构形式。进化原理的基本思想是把适者生存的生物进化论思想引入结构拓扑优化，它通过模拟适者生存、物竞天择、优胜劣汰等自然机理来获得最优的拓扑结构[15]。

退化法作为一类传统的拓扑优化方法，通常利用目标函数导数的零点或是迭代计算求最优的拓扑结构。现在常用的退化法有均匀化方法、变厚度法、ICM[16]、变密度法[17]等。进化法是全局寻优方法，常用的进化法主要有遗传算法、模拟退火算法和渐进结构优化法等。

2.2.1 均匀化方法

均匀化方法是在连续体结构拓扑优化中经常使用的方法。其基本思想是在结构的材料中引入微结构，微结构的形式和尺寸参数决定了宏观材料在此处的弹性和密度，优化过程中以微结构的单细胞尺寸为设计变量，以单细胞尺寸的消减实现微结构的增减，并且生成由中间单细胞构成的复合材料，以拓展设计空间的方式实现拓扑优化模型与尺寸优化模型的连续和统一[18]。一般用于二维、三维复合材料的连续结构体拓扑优化设计中。数学模型为：其中， l (u)为结构柔度泛函， 为微结构单胞密度，  为节点位移， 和 分别为结构受到节点等效体积力和边界条件， 为结构的应变能，结构平衡方程是约束的第一式（用变分表示），v为结构初始体积，v*为指定除去材料的体积， 表示许用结构刚度张量的集合。